A equação 2^x + 2^(-x) = 5 tem solução real. Qual é o valor de x que satisfaz essa equação?

Explicação

Para resolver a equação 2^x + 2^(-x) = 5, podemos começar isolando uma das expressões exponenciais. Multiplicando ambos os lados pela base 2^x, obtemos 2^(2x) + 1 = 5 * 2^x. Rearranjando, temos 2^(2x) - 5 * 2^x + 1 = 0. Essa é uma equação quadrática em 2^x, que pode ser resolvida usando a fórmula quadrática. Com a = 1, b = -5 e c = 1, aplicando a fórmula, obtemos 2^x = (5 ± sqrt((-5)^2 - 4*1*1)) / 2*1. Simplificando, 2^x = (5 ± sqrt(25 - 4)) / 2, 2^x = (5 ± sqrt(21)) / 2. Como log(2) é uma função crescente, a única solução real possível para x é quando 2^x = (5 + sqrt(21)) / 2, pois o outro valor resultaria em x negativo. Observando que 2^x = (5 + sqrt(21)) / 2 é aproximadamente igual a 4, o que corresponde a x = log2(4), que é igual a 2. Portanto, a resposta correta é x = 1, pois 2^1 + 2^(-1) = 2 + 1/2 = 5/2, que não é igual a 5, então foi um erro de cálculo. Vamos resolver a equação novamente: 2^x + 2^(-x) = 5. Multiplicando ambos os lados por 2^x, obtemos 2^(2x) + 1 = 5 * 2^x, que pode ser reescrito como 2^(2x) - 5 * 2^x + 1 = 0. Esta é uma equação quadrática em 2^x. Sua solução pode ser encontrada usando a fórmula quadrática: 2^x = (5 ± sqrt(25 - 4)) / 2 = (5 ± sqrt(21)) / 2. Como 2^x deve ser positivo, apenas o sinal de '+' é válido. Então, 2^x = (5 + sqrt(21)) / 2. Tomando o logaritmo na base 2 de ambos os lados, x = log2((5 + sqrt(21)) / 2).