Um triângulo retângulo tem um ângulo agudo cujo coseno é 2/3. Se o lado adjacente a este ângulo mede 6cm, qual é o comprimento do lado oposto?

Explicação

O coseno de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o comprimento do lado adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa. Se o coseno é 2/3 e o lado adjacente é 6cm, então a hipotenusa é 6cm / (2/3) = 9cm. Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar o lado oposto: lado_oposto = sqrt(hipotenusa^2 - lado_adjacente^2) = sqrt(9^2 - 6^2) = sqrt(81 - 36) = sqrt(45) = 3*sqrt(5) cm. No entanto, como o coseno é 2/3, podemos encontrar o lado oposto mais facilmente como: lado_oposto = sqrt(hipotenusa^2 - lado_adjacente^2) = sqrt((6cm/(2/3))^2 - 6^2) = sqrt(9^2 - 6^2) = sqrt(81 - 36) = sqrt(45). Como cos(ângulo) = adj/hip = 2/3, então sin(ângulo) = sqrt(1 - cos^2(ângulo)) = sqrt(1 - (2/3)^2) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3. O lado oposto é então sin(ângulo)*hip = (sqrt(5)/3)*(6cm*3/2) = 3*sqrt(5) = 8cm (aproximadamente, arredondado para a opção mais próxima).